Fourier 解析と Poisson の和公式

はじめに

Fourier 級数展開や Fourier 変換には多くの応用がある．この記事では，小ネタとして，[1] より Poisson の和公式を紹介する．

ステートメントと証明

Thm. (Poisson の和公式)
実数値の急減衰関数 $f$ の Fourier 変換を $\hat{f}$ としたとき，以下の公式が成立する．
$\displaystyle{ \sum_{n = -\infty}^\infty f(n) = \sqrt{2\pi} \sum_{m = -\infty}^\infty \hat{f} (2\pi m) . }$

pf.
$f$ は急減衰だから， $g(x) \equiv \sum_{n = -\infty}^\infty f(x + n)$ は $\mathcal{C}^2$ 級かつ周期 $1$ の関数である．Dirichlet の定理より， $g(x)$ の Fourier 級数展開は一様収束する． $g(x)$ の Fourier 係数を $a_m$ と書くと， $g(x) = \sum_{m = -\infty}^\infty a_m e^{2\pi i m x}$ である．さて，
$\displaystyle{a_m = \int_0^1 g(x) e^{-2\pi im x} dx = \int_0^1 \sum_{n = -\infty}^\infty f(x + n) e^{-2\pi i m x} dx }$
だが， $g(x)$ の Fourier 和の一様収束性から総和と積分を交換できる．すなわち，
$\displaystyle{ a_m = \sum_{n = -\infty}^\infty \int_0^1 f(x + n) e^{-2\pi i m x} dx. }$
$y = x + n$ と変数変換すると，
$\displaystyle{ a_m = \sum_{n = -\infty}^\infty \int_n^{n + 1} f(y) e^{-2\pi i m y } dy = \int_{-\infty}^\infty f(y) e^{-2\pi i y} dy = \sqrt{2\pi} \hat{f} (2\pi m) }$
を得る．したがって，
$\displaystyle{ g(0) = \sum_{n = -\infty}^\infty f(n) = \sqrt{2\pi} \sum_{m = -\infty}^\infty \hat{f} (2\pi m) . }$ (証明終)

例 1. Gaussian

テータ関数とは， $t > 0$ に対して
$\displaystyle{ \theta (t) = \sum_{n = -\infty}^\infty \exp (-\pi n^2 t) }$
で定められる関数である． $t \mapsto t^{-1}$ なる変数変換に関して，以下の等式が成り立つ．
Prop. (Jacobi の等式)
$\displaystyle{ \theta (t) = \frac{1}{\sqrt{t}} \theta \left( \frac{1}{t} \right) }.$

この等式の証明に Poisson の和公式を利用できる．具体的には，Gaussian $g_t (x) = \exp (- \pi x^2 t)$ に対して Poisson の和公式を適用する． $\hat{g_t} (\omega) = (2\pi t)^{-1/2} \exp (-\omega^2 / 4\pi t)$ より，
$\displaystyle{ \sum_{n = -\infty}^\infty \exp (-\pi n^2 t) = \sum_{m = -\infty}^\infty t^{-1/2} \exp (-(2\pi m)^2 / 4\pi t) = t^{-1/2} \sum_{m = -\infty}^\infty \exp ( -\pi m^2 / t) } .$

例 2. 偶関数

$f$ が偶関数の場合に Poisson の和公式を用いると，数値解析において重要である Euler--Maclaurin の公式が導かれる．まず，若干テクニカルな変形から入ろう．
$\displaystyle{ \begin{equation*} \begin{split} 2 \sum_{n = 0}^\infty f(n) &= f(0) + \sum_{n = -\infty}^\infty f(n) \\ &= f(0) + \sqrt{2\pi} \sum_{n = -\infty}^\infty \hat{f} (2\pi n) \\ &= f(0) + \sqrt{2\pi} \hat{f} (0) + \sqrt{2\pi} \sum_{n = 1}^\infty \left\{ \hat{f} (2\pi n) + \hat{f} (-2\pi n) \right\} \\ &= f(0) + 2\int_0^\infty f(x) dx + \sum_{n = 1}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x) \left( e^{-2\pi i nx} + f(x) e^{2\pi i nx} \right) dx \\ &= f(0) + 2\int_0^\infty f(x) dx + \sum_{n = 1}^\infty \int_{-\infty}^\infty f(x) 2 \cos (2\pi n x) dx \\ &= f(0) + 2\int_0^\infty f(x) dx + 4\sum_{n = 1}^\infty \int_0^\infty f(x) \cos (2\pi n x) dx . \end{split} \end{equation*} }$
したがって，
$\displaystyle{ \sum_{n = 0}^\infty f(n) = \int_0^\infty f(x) dx + \frac{1}{2} f(0) + 2\sum_{n = 1}^\infty \int_0^\infty f(x) \cos (2\pi n x) dx . }$
さて，右辺に含まれる総和の各項で部分積分すると，
$\displaystyle{ \begin{equation*} \begin{split} 2 \int_0^\infty f(x) \cos (2\pi n x) dx &= -\int_0^\infty f' (x) \frac{\sin (2\pi nx)}{n\pi} dx \\ &= -\frac{f'(0)}{2\pi^2 n^2} - \int_0^\infty f'' (x) \frac{\cos (2\pi n x)}{2n^2 \pi^2} dx \\ &= \cdots \end{split} \end{equation*} }$
となる．これを繰り返して整理することで，
$\displaystyle{ \int_0^\infty f(x) dx \simeq \sum_{n = 0}^\infty f(n) + \sum_{k = 1}^\infty \frac{B_k}{k!} f^{(k - 1)} (0) . }$
が得られる．ただし， $B_k$ は Bernoulli 数である．これは， $f(x)$ の $[0, \infty)$ における積分を， $n = 0, 1, 2, \cdots$ での関数値の総和で近似したもの (台形則近似) の誤差評価を与えているとみなすことができる．

多次元への拡張

Poisson の和公式は多次元においても成り立つ．1 次元の場合は $\mathbb{Z}$ についての総和を考えたが，多次元では格子点での関数値を足し上げることになる．念のため，格子の定義を書いておく．
Def. (格子)
$e_1, e_2, \cdots , e_d \in \mathbb{R}^d$ を， $\mathbb{R}^d$ の (線形空間としての) 基底とする．このとき， $L = \{ n_1 e_1 + \cdots + n_d e_d \mid n_1, \ldots , n_d \in \mathbb{Z} \}$ を， $\mathbb{R}^d$ の格子と呼ぶ．また， $\mathrm{vol} (L) = |\det ( e_1 \; e_2 \cdots e_d) |$ を格子の体積と呼ぶ*1．

Def. (双対格子)
$\mathbb{R}^d$ の格子 $L$ に対して， $L' = \{ \omega' \in \mathbb{R}^d \mid \forall \omega \in L , \; \langle \omega, \omega' \rangle \in \mathbb{Z} \}$ を $L$ の双対格子と呼ぶ．

証明は 1 次元の場合と似通っているため，ここでは定理のステートメントのみ述べる．

Thm. (多次元における Poisson の和公式)
$L$ を $\mathbb{R}^d$ の格子として， $f$ を $\mathbb{R}^d$ 上の急減衰関数とする．このとき，
$\displaystyle{ \sum_{\omega \in L} f(\omega) = \frac{(2\pi)^{d/2}}{\mathrm{vol} (L)} \sum_{\omega' \in L'} \hat{f} (2\pi \omega') .}$

参考文献

[1] 高橋陽一郎，実関数とフーリエ解析，岩波書店，2006 年．

*1:体積は基底の選び方によらない．すなわち，体積は well-defined である．