いたるところ連続だが微分不可能な関数が無数に存在すること

寒くなってきましたね．

タイトルに示す命題について，Banach が Baire の範疇定理（以下，BCT）を用いておこなった証明を紹介します．

1. 微分不可能な関数について

$\mathbb{R}$ 上の連続関数について考えます．たとえば， $y = |x|$ が $x = 0$ で微分できないことは周知の通りです．しかし，この関数は $x \neq 0$ では微分可能です．
いたるところ連続で，しかもいたるところ微分不可能であるような関数は存在するのでしょうか．Weierstrass はそういった関数を示しました．Weierstrass 関数というやつです．ここでは深堀りしないので，興味のある人は検索してみてください．
そして，そのような関数が（Weierstrass関数に限らず）無数に存在することを示したのが Banach です．

2. BCT について

Banach の証明をフォローする前に，下準備として BCT に触れます．

Thm. 2.1. (BCT)
完備距離空間の稠密な開集合の可算個の共通部分は稠密である．

pf.
略．

BCT をスッと書くと，完備距離空間 $X$ とその開集合 $O_n \; (n = 1, 2, \ldots)$ について，
$\overline{O_n} = X \Rightarrow \overline{\cap O_n} = X$
というものです．

$O_n$ の補集合を考えることで，BCT を閉集合についてのステートメントに言い換えることができます． $F_n = O_n^c$ とします． $\overline{O_n} = X \Leftrightarrow F_n$ は内点を持たない，ということに注意すると，BCT は次のように書けます．

Thm. 2.1. の言い換え
完備距離空間 $X$ とその閉集合 $F_n$ について，
$F_n$ が内点を持たない $\Rightarrow \cup F_n$ は内点を持たない

3. $C[0, 1]$ について

$[0, 1]$ 上で定義された連続関数全体の集合を $C[0, 1]$ と書きます． $f, g \in C[0, 1]$ について
$d(f, g) = \max_{0 \le x \le 1} |f(x) - g(x)|$
として距離を入れます．

Prop. 3.1.
$C[0, 1]$ は完備．

pf.
略．

4. Banach の証明

いよいよ本題に入ります．

$C[0, 1]$ の部分集合 $F_n \; (n = 2, 3, \ldots)$ を，以下の条件を満たす $f \in C[0, 1]$ の全体として定めます．

ある $0 \le t \le 1 - (1/n)$ が存在して，任意の $0 \le h \le 1 - t$ に対して $|f(t + h) - f(t)| \le n |h|$ が成りたつ．

Banach の証明の流れは以下のようになります．

$F_n$ が $C[0, 1]$ の閉集合であることを示す．
$F_n$ が内点を持たないことを示す．
BCT より， $f_0 \notin \cup F_n$ の存在が保証される．そのような $f_0$ がいたるところ微分不可能であることを示す．

$F_n$ が閉集合であること

Prop. 4.1.
$F_n$ は閉集合である．

pf.
$f_i \to g \; (i \to \infty)$ のとき $g \in F_n$ を言えばよい．

$F_n$ が内点を持たないこと

Prop. 4.2.
$F_n$ は内点を持たない．

pf.
$f \in F_n$ を任意に選び， $F_n$ に属さない $h$ を取って考える．そのような $h$ としては，たとえばどこかしらで傾きが $n$ を上回るようなものがある．任意の $\epsilon > 0$ に対して $h \in V_\epsilon (f)$ となるような $h$ が取れることが示せる．よって $f$ は $F_n$ の内点ではない． $f$ が任意だったことを思い出すとこれで終わる．