正規部分群，交換子群，可解群

備忘録的に書きます．はてなで書くととても読みづらい．誰かはてなで墓石記号を出力する方法ご存知ないですか……．

1. 正規部分群

Def. 1.1.
$G$ を群， $H$ をその部分群とする．任意の $g \in G$ について $gHg^{-1} = H$ のとき， $H$ は正規部分群であるといい， $H \triangleleft G$ と書く．

Exm. 1.2.
$G$ や $\{1_G\}$ は明らかに $G$ の正規部分群．

Exm. 1.3.
$G$ が Abel 群なら，任意の部分群は正規部分群．

Prop. 1.4.
$G_1, G_2$ が群で $\phi : G_1 \to G_2$ が準同型とする．このとき， $\ker(\phi) \triangleleft G_1$ ．

pf.
$g \in G_1$ , $h \in \ker(\phi)$ とする．
$\phi(g h g^{-1}) = \phi(g)\phi(h)\phi(g)^{-1} = \phi(g)\phi(g)^{-1} = 1_{G_2}$
となるため， $ghg^{-1} \in \ker(\phi)$ ．よって $\ker(\phi) \triangleleft G_1$ である．（証明終）

Exm. 1.5.
$K$ を体とする． $\det : \mathrm{GL}_n (K) \to K$ は準同型であり， $\ker(\det) \simeq \mathrm{SL}_n (K)$ である．よって， $\mathrm{SL}_n (K) \triangleleft \mathrm{GL}_n (K)$ ．

Exm. 1.6.
$G = \mathfrak{S}_3$ を考える． $\sigma \in G$ について， $\mathrm{sgn} (\sigma)$ は準同型である．したがって， $A_3 = \ker (\mathrm{sgn}) \triangleleft \mathfrak{S}_3$ である（Prop. 1.4）．ところで， $A_3 = \langle (1 \: 2 \: 3) \rangle$ であることが示せる．よって， $A_3 \triangleleft \mathfrak{S}_3$ である．

2. 交換子群

Def. 2.1.
$G$ を群とし， $x, y \in G$ とする．このとき， $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ を交換子と呼ぶ． $G$ の交換子全体がなす群を交換子群（あるいは，導来群）と呼び， $D(G)$ と書く．

$G$ が Abel 群なら $D(G)$ は trivial．

Prop. 2.2.
$D(G) \triangleleft G$ がなりたつ．

pf.
$g \in G$ とする． $gD(G)g^{-1} \supset D(G)$ は明らか． $xyx^{-1}y^{-1} \in D(G)$ について，
$gxyx^{-1}y^{-1}g^{-1} = (gxg^{-1})(gyg^{-1})(gxg^{-1})^{-1}(gyg^{-1})^{-1} \in D(G)$ だから， $gD(G)g^{-1} \subset D(G)$ もなりたつ．
よって， $gD(G)g^{-1} = D(G)$ なので， $D(G) \triangleleft G$ ．（証明終）

Prop. 2.3.
$G/D(G)$ は Abel 群．

pf.
$\pi : G \to G/D(G)$ を自然な全射準同型とする．一般に， $G$ とその正規部分群 $N$ について，自然な全射準同型 $\pi : G \to G/N$ の核は $N$ に一致する．
$x, y \in G$ について $xyx^{-1}y^{-1} \in D(G)$ だから， $\pi(xyx^{-1}y^{-1}) = 1_{D(G)}$ である．よって $\pi(x)\pi(y) = \pi(y)\pi(x)$ ． $\pi$ は全射だから $G/D(G)$ は Abel 群である．（証明終）

Prop. 2.4.
$N \triangleleft G$ について， $G/N$ が Abel 群であれば， $N \supset D(G)$ がなりたつ．

pf.
任意の $x, y \in G$ について $xyN = yxN$ だから， $xyx^{-1}y^{-1} \in N$ ．よって， $D(G) \subset N$ ．（証明終）

Rmk.
Prop. 2. 4 の逆も成り立つ．

3. 可解群

Def. 3.1.
$G$ を群とする．その部分群の減少列 $G = G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_{n-1} \supset G_n = \{1_G\}$ があって，任意の $i = 0, \ldots, n-1$ に対して $G_{i+1} \triangleleft G_i$ で $G_i / G_{i+1}$ が Abel 群となるとき， $G$ を可解群と呼ぶ．

Exm. 3.2.
Abel 群は可解群である．

Exm. 3.3.
Exm. 1.6 より， $A_3 = \langle (1 \: 2 \: 3) \rangle \triangleleft \mathfrak{S}_3$ である． $(\mathfrak{S}_3 : A_3) = 2$ より， $\mathfrak{S}_3 / A_3 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ は Abel 群である． $A_3$ が Abel 群だから， $\mathfrak{S}_3$ は可解群である．