区分求積法を使った極限計算

こないだ，ある試験で以下の極限を求めさせる問題が出ました．

$\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \frac{n + 1}{(n!)^{1/n}} }$

解いたあと，「これはむずいやろ．解けた人少ないだろうし Twitter で話題になってるんじゃないかな」とか思ったんですが，仄聞するところによると Stirling の公式を使えば一発らしいです．でもそんな公式覚えてないですよね．
この問題は対数を取って巧妙に式変形することで区分求積に持ち込めます．

$\displaystyle{ \begin{eqnarray} \log \frac{n + 1}{(n!)^{1/n} } &=& \log (n+1) - \log (n!)^{\frac{1}{n}} \\ &=& \log(n+1) - \frac{1}{n} \log n! \\ &=& \log (n+1) - \frac{1}{n} \left\{ \log n (n - 1) \cdots 1 \right \} \\ &=& \log(n+1) - \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \log k \\ &=& \log(n + 1) - \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \log \frac{k}{n} n \\ &=& \log(n+1) - \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \left( \log \frac{k}{n} + \log n \right) \\ &=& \log(n+1) - \log n - \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \log \frac{k}{n} \\ &=& \log \left( 1 + \frac{1}{n} \right) - \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \log \frac{k}{n} \\ &\to& - \int_{0}^{1} \log x dx \; \; (n \to \infty) \end{eqnarray} }$