シャミ子のしっぽの材質を偏微分方程式から求める

はじめに

『まちカドまぞく』1 巻に，以下のようなおまけイラストがあります．

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（伊藤いづも『まちカドまぞく 1 巻』86 ページ，芳文社，2015 年）

かわいいですね．

「冷たさをかんじるまで 1.5 秒かかる」という記述をもとに，シャミ子のしっぽの材質を推定していきたいと思います．

前提

以下の仮定を置きます．

シャミ子のしっぽは直線．
しっぽ先端（もんもがペットボトルを当てている部分）の座標は $0$ ，しっぽ付け根の座標は $L$ ．
しっぽには神経が通っておらず，付け根の神経で温度を感じる．付け根の神経から脳までの伝達にかかる時間は無視する．
普段，しっぽ内の温度は一様．
シャミ子のしっぽの温度拡散率は $\kappa$ ，平熱は $T_0$ ．
もんもが当てたペットボトルにより，シャミ子のしっぽ先端は $T_c$ だけ急激に冷やされる．

式をきれいにするため，しっぽ長は以下 $L$ で書くことにしますが，一応ここで $L$ の値を推定しておきます．

計算

（注意：この節は本質的には熱伝導方程式を解いているだけであり，結論だけ知りたい人は読まなくてもいいと思います）

しっぽ内の温度を $u(x, t)$ で書きます．Fourier の法則とエネルギー保存則を連立すると，

$\displaystyle{ \frac{\partial u}{\partial t} = \kappa \nabla^2 T = \kappa \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} }$

なる偏微分方程式を得ます．仮定より，初期条件は

$\displaystyle{ u(x, 0) = -T_c \delta (x) + T_0}$

です．

この初期値問題を解いて，「冷たさをかんじるまで 1.5 秒」という事実と連立して温度拡散率 $\kappa$ を求めれば，シャミ子のしっぽの材質が分かります．

$u(x, t)$ の $x$ に関する Fourier 変換を $U(\xi, t)$ とします．適当な条件の元で計算すると，

$\displaystyle{ \mathcal{F}\left[ \frac{\partial u}{\partial t} \right] = \frac{\partial U}{\partial t} }$
$\displaystyle{ \mathcal{F} \left[ \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \right] = -\xi^2 U(\xi, t) }$

となります．元々の偏微分方程式に代入すると，

$\displaystyle{ \frac{\partial U}{\partial t} = -\kappa \xi^2 U}$

という常微分方程式になります．これを解くことはやさしくて，

$\displaystyle{ U(\xi, t) = \mathcal{F} [u(x, 0)] \exp(-\kappa \xi^2 t) }$

となります．あとは両辺を逆 Fourier 変換すれば $u$ が求まります．

$\displaystyle{ \mathcal{F}^{-1} [ \exp(-\kappa \xi^2 t) ] = \frac{1}{2\sqrt{\pi \kappa t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4\kappa t}\right) }$

を利用すると，

$\displaystyle{ u(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi \kappa t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4\kappa t}\right) * u(x, 0) }$

と書けます．

最終的に，

$\displaystyle{ u(x, t) = \frac{1}{2\sqrt{\pi \kappa t}} \int_{-\infty}^{\infty} \{ -T_c \delta(x - \zeta) + T_0 \} \exp\left(-\frac{\zeta^2}{4\kappa t}\right) d\zeta }$

$\displaystyle{ = -\frac{T_c x}{2\sqrt{\pi \kappa t}} \exp\left(-\frac{x^2}{4\kappa t}\right) + T_0 }$

が求まりました．

ここまでで結構疲れた気もしますが，更に $\kappa$ を求める必要があります．以下， $u_L (t) = u(L, t)$ とします．加えて，やや強引ではありますが，「つめたさを感じる」を「 $u_L(t)$ が極小値を取る」と解釈します．すなわち，

$\displaystyle{ \frac{du_L}{dt} = \frac{T_c L}{8 \kappa t \sqrt{\pi \kappa t} } \exp \left(-\frac{L^2}{4 \kappa } \right) \left( 2 \kappa - \frac{L^2}{t} \right) }$