1 = 2 について

ゼロ除算とか単射性の不当な要求にはもう騙されませんよ~

 

ところで,

 \displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots }

について考えたいと思います.部分和に以下のような式変形を施します.

 \displaystyle{ \begin{eqnarray} \sum_{n = 1}^{2m} \frac{(-1)^{n-1}}{n} &=& \sum_{n = 1}^{2m} \frac{(-1)^{n-1}}{n} + \left( 2\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{2n} - 2\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{2n} \right)  \\ &=& \sum_{n = 1}^{2m} \frac{(-1)^{n-1}}{n} + 2\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{2n} -  \left( 2\sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{2n} \right)  \\ &=& \sum_{n = 1}^{2m} \frac{1}{n}  -  \left( \sum_{n = 1}^{m} \frac{1}{n} \right) \\ &=& \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{m + n} \\ &=& \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{1 + (n/m)} \end{eqnarray} } 

区分求積法を用いることで
 \displaystyle{ \lim_{m \to \infty} \frac{1}{m} \sum_{n=1}^{m} \frac{1}{1 + (n/m)} = \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \log 2}
を得ます.

これにより,
 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \cdots  = \log 2
が求まりました.めでたし.



ところで,
 \log 2 = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \frac{1}{6} + \cdots
において,符号ごとにまとめてみると,
 \log 2 = \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots \right) - \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4}  + \frac{1}{6} + \cdots \right)
となります.

 \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4}  + \frac{1}{6} + \cdots \right) を足してからまた引いても値は一緒になるはずですから,
 \begin{eqnarray} \log 2 &=& \left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \cdots \right) + \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4}  + \frac{1}{6} + \cdots \right) - 2\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{4}  + \frac{1}{6} + \cdots \right) \\ &=& \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \right) - \left(1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \cdots \right) \\ &=& 0 \end{eqnarray}

 \log 2 > 0より両辺を \log 2で割ると, 1 = 0となります.ゆえに 2 = 1

説明

これは 1 = 2の証明に使われるテクニックのうち,もっとも遅くに反駁されたものだと考えられます.Cauchy は1821年にこの問題を解決しました.具体的には,無限級数において足し算の順序変更は必ずしも可能ではありません

各項の絶対値を取って足し合わせたときに発散するような級数は条件収束級数と呼ばれます*1.条件収束する級数について,Riemann series theorem という定理が存在し,足し算の順序を適当にいじることで任意の実数に持っていけることが知られています.
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*1:絶対値の和も収束する場合,絶対収束級数といいます.