正規部分群，交換子群，可解群

数学

備忘録的に書きます．はてなで書くととても読みづらい．誰かはてなで墓石記号を出力する方法ご存知ないですか……．

1. 正規部分群

Def. 1.1.
G を群， H をその部分群とする．任意の g \in G について gHg^{-1} = H のとき， H は正規部分群であるといい， H \triangleleft G と書く．

Exm. 1.2.
G や \{1_G\} は明らかに G の正規部分群．

Exm. 1.3.
G が Abel 群なら，任意の部分群は正規部分群．

Prop. 1.4.
G_1, G_2 が群で \phi : G_1 \to G_2 が準同型とする．このとき， \ker(\phi) \triangleleft G_1．

pf.
g \in G_1, h \in \ker(\phi) とする．
\phi(g h g^{-1}) = \phi(g)\phi(h)\phi(g)^{-1} = \phi(g)\phi(g)^{-1} = 1_{G_2}
となるため， ghg^{-1} \in \ker(\phi)．よって \ker(\phi) \triangleleft G_1 である．（証明終）

Exm. 1.5.
K を体とする． \det : \mathrm{GL}_n (K) \to K は準同型であり， \ker(\det) \simeq \mathrm{SL}_n (K) である．よって， \mathrm{SL}_n (K) \triangleleft \mathrm{GL}_n (K)．

Exm. 1.6.
G = \mathfrak{S}_3 を考える． \sigma \in G について， \mathrm{sgn} (\sigma) は準同型である．したがって， A_3 = \ker (\mathrm{sgn}) \triangleleft \mathfrak{S}_3 である（Prop. 1.4）．ところで， A_3 = \langle (1 \: 2 \: 3) \rangle であることが示せる．よって， A_3 \triangleleft \mathfrak{S}_3 である．

2. 交換子群

Def. 2.1.
G を群とし， x, y \in G とする．このとき， [x, y] = xyx^{-1}y^{-1} を交換子と呼ぶ． G の交換子全体がなす群を交換子群（あるいは，導来群）と呼び， D(G) と書く．

G が Abel 群なら D(G) は trivial．

Prop. 2.2.
D(G) \triangleleft G がなりたつ．

pf.
g \in G とする． gD(G)g^{-1} \supset D(G) は明らか． xyx^{-1}y^{-1} \in D(G) について，
gxyx^{-1}y^{-1}g^{-1} = (gxg^{-1})(gyg^{-1})(gxg^{-1})^{-1}(gyg^{-1})^{-1} \in D(G) だから， gD(G)g^{-1} \subset D(G) もなりたつ．
よって， gD(G)g^{-1} = D(G) なので， D(G) \triangleleft G．（証明終）

Prop. 2.3.
G/D(G) は Abel 群．

pf.
\pi : G \to G/D(G) を自然な全射準同型とする．一般に， G とその正規部分群 N について，自然な全射準同型 \pi : G \to G/N の核は N に一致する．
x, y \in G について xyx^{-1}y^{-1} \in D(G) だから， \pi(xyx^{-1}y^{-1}) = 1_{D(G)} である．よって \pi(x)\pi(y) = \pi(y)\pi(x)． \pi は全射だから G/D(G) は Abel 群である．（証明終）

Prop. 2.4.
N \triangleleft G について， G/N が Abel 群であれば， N \supset D(G) がなりたつ．

pf.
任意の x, y \in G について xyN = yxN だから， xyx^{-1}y^{-1} \in N．よって， D(G) \subset N．（証明終）

Rmk.
Prop. 2. 4 の逆も成り立つ．

3. 可解群

Def. 3.1.
G を群とする．その部分群の減少列 G = G_0 \supset G_1 \supset \cdots \supset G_{n-1} \supset G_n = \{1_G\} があって，任意の i = 0, \ldots, n-1 に対して G_{i+1} \triangleleft G_i で G_i / G_{i+1} が Abel 群となるとき， G を可解群と呼ぶ．

Exm. 3.2.
Abel 群は可解群である．

Exm. 3.3.
Exm. 1.6 より， A_3 = \langle (1 \: 2 \: 3) \rangle \triangleleft \mathfrak{S}_3 である． (\mathfrak{S}_3 : A_3) = 2 より， \mathfrak{S}_3 / A_3 \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} は Abel 群である． A_3 が Abel 群だから， \mathfrak{S}_3 は可解群である．

編入試験が終わったらやりたいこと

所感

編入試験が一段落したので，今後卒業までにやりたいことをまとめておきます（自分用）．

 

数学

研究に備えて数学の基礎をしっかり固めておきたいです．具体的には，

あたりを読んでいきたいと思います．時間が余れば解析方面（Lebesgue 積分とか複素関数論とか）や代数幾何学の厳密なとこにも手を出したいですが，多分余らないでしょう．

研究

現在高専でやっている研究について，少なくとも卒業できる程度の進捗は出しておきたいです．とはいえしばらくはプログラムをこつこつと書いていくだけなので，まあがんばります．

また，計算機科学の基本的な理論についても一通りさらっておいた方がよいと思っています．

語学

英語

編入に向けた勉強でかなり鍛えられた感はありますが，キープするため日常的に英語に触れておきたいです．具体的には，アメリカの新聞を毎日読んでいます．

リーディングはそれでいいんですが，ライティングとスピーキングとリスニングについてはあまり考えていません．一つには海外で過ごす予定がなく，英語論文を読めればまあ足りるという理由があります．ただ，英語で論文を書く機会があるかもしれない（あるかな？）ので，ライティングはやっておいた方がいいかもしれないとは思っています．

第二外国語

実はどの言語をやるか決めかねています．今のところ頭の中にある選択肢はロシア語とフランス語です．前者は，Dostoevsky や Landau-Lifshitz を原著で読める・ロシア史関連の文献を読めるという理由から，後者は，現在研究で扱っている分野で伝統的にフランスが強いという理由からです．

こちらはぼちぼち決めて，ゆるゆると取り掛かりたいと思っています．

プログラミング

しばらくプログラムを書いていなかったのでもう何もわかりません．競プロに復帰したいですが，最近の状況がよくわかりません……．

あとは文化祭に向けてゲーム作ったり，バイトでやってる案件をちゃんと進めたりする予定です．

電子工作

電子工作やりたいな～～～～と思って去年の 8 月くらいにキットやらなんやらを買ったんですが，編入用の勉強をつけたりに放置して全然触っていません．口実が消えたのでやっていきたいです．あと，お金がマジでないのでこれは願望ですが，秋月で売ってる指向性スピーカーを使っていろいろやりたいです．

部屋の一隅で電熱器と化してる Raspberry Pi くんにも何かしら役割を与えてあげるつもりです．

史跡巡り

近場にある歴史系の博物館・記念館や遺跡，近代建築などを巡りたいと思っていましたが，折からのパンデミックで今後どうなるかわからないので，これは保留です．

いい感じの雰囲気になったら，『日本のいちばん長い日』の聖地巡礼にも行きたいです．

読書

信じられないほど積ん読があるので着実に消化していく予定です．今は，去年大量に岩波文庫入りした岡義武の大正史関連の著作を読んでいます．

野球観戦

PC で見ます．今年は贔屓が開幕ダッシュに失敗して最下位付近をウロウロしているのであまり見ないかもしれません．

いつかは現地で見たいと思っていましたが，そもそも球場が遠い上にこの感染拡大状況なので，まあしばらくはいいでしょう．

資格試験

漢検 1 級，数検 1 級などを狙っています．数検はあとひと押しという感じですが，漢検はかなり遠い．絶望的です．

映画

Amazon Prime でウォッチリストに入っている映画を消化したいです．

 

おわりに

これ半年で足りるのか？

『成功による眩惑』――スターリン農業集団化の一時停止を読む

社会科学/人文科学

はじめに

よく知られている通り，スターリンは 1920 年代後半以降，農業集団化運動を推し進めた．ずさんな計画に基づいて強引に推進された集団化は強権的な農民徴発を伴い，大規模な反対に遭う．

1930 年 3 月，スターリンは "Dizzy with Success" という論文を発表し，集団化の強引さに対する反省を表明しつつ，集団化運動における「行き過ぎ」「原則からの乖離」の責任を地方の党幹部に押し付けることで中央の免責を図った．これにより，集団化は一時的にブレーキをかけられることとなった*1．

この "Dizzy with Success" は，スターリンが書いた論文の中でも歴史的意義が大きいと思われる一方，ネット上に邦訳が出ていない*2．『スターリン全集』あたりには入っているのだろうが，入手が容易ではない．というわけで，適当に訳してみた．

*1:スターリンの盟友であったオルジョニキーゼやカリーニンが集団化に強く反対したことが大きな原因として挙げられる．

*2:翻訳していてつくづく思ったのだが，邦訳が出ていないのには理由がある．スターリンは基本的に地方批判に終始しており，上に書いたような大要で論文の主張が尽くされるため，わざわざ全文を訳す必要がない．しかし言語明瞭意味明瞭という感じで空疎な文章なので，語学の練習には有用だと思われる．

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サンプルサイズのことを母数って呼ぶな

所感

母数（パラメータ）とは母集団の特性値，つまり母平均とか母分散とかを言うのであって，サンプルサイズ，つまり n = 1000 とかの n を言うのではない．

新型コロナウイルスの流行に関連して，「日本は感染者が多いけど母数も多いから率は高くない．統計学の基礎ですよ」みたいなツイートを散見するが，母数とサンプルサイズは違う．統計学の基礎ですよ．

しかしこの誤用は完全に人口に膾炙してしまっており，今からただそうとしても無理かもしれない．

電子書籍への姿勢

所感

ちょうど 1 年ほど前に Kindle Paperwhite を購入した．それ以来，どんな感じで電子書籍と向き合ってきたか，ここに軽くメモしておく．ぼくと読書傾向や性向が近い人は参考になるかもしれない．

これまで電子書籍とは是々非々で付き合ってきた．基本的なスタンスとして，「漫画は電書，それ以外は紙の本」というのがある．

電書の最大のつらさは所有欲・コレクト欲が満たされないことで，「本棚の形で持ってる電書を表示してくれるアプリあるからそれ使いなよ」などとアドバイスされたこともあるが，そうじゃないんだよという感じ．しかし，もう既に本棚は埋まりきっており，高専で使っている教科書や研究に関わりのありそうな専門書を全部卒研室へ運び込んでもなお足りず，新しい本は床に平積みしているという状態なので，やむを得ず電書の使用を始めた．なお一般書は引き続き紙で購入して平積みしていく方針である．

漫画について言えば，これまで紙の本で購入してきたシリーズを電書に切り替えるのはつらいので，とりあえず新しく購入するシリーズは電書，それ以外は紙という感じで運用しており，今までうまくいっている．また，特に気に入っているシリーズ（ごちうさと『怜 -Toki-』）は紙と電書の両方で購入している（特典の関係）．

漫画を電書化するメリットとしては，可搬性，手軽さ，安さなどが挙げられる．電書を使うことで，出先で漫画を読んで気持ち悪い笑みを浮かべることが可能になった．また，本を物理的に汚損する心配なし気が向いたときに読めるというのも大きい（紙の本だと取り落したり雑に扱ったりして傷ませるおそれがあった）．あと Amazon で買うと基本的に紙の本より安い．

プラットフォームの話をしておくと，今は Amazon の Kindle を使っている．よく行く書店が丸善なので honto を使うのがポイント的に本当はよいのだろうが，気づいたときにはもう Kindle で多数購入していたり UI に慣れきっていたりして，スイッチングコストがポイント分のうまみを上回ってしまっていた．それなりに資本があるので，プラットフォームごと潰れてアクセスできなくなるということがなさそうなのも強みだと思う．

また，Kindle 端末については，あんまり使わなくなった（今はスマホで読んでいる）．とにかく軽いし，防水だし，色々と便利なのだが，カラー表示ができず画質がそこまででもないため漫画を読むのには向かない上，手軽さに欠ける（普段はスマホを使っているので切り替えをシームレスに行いたい）．活字を読む上ではよいのだと思う．実際，ごくわずかだが一般書を電書で持っており（電書版が半額だったとかそういう理由），それらは Kindle でいい感じに読めた．

大体こういう漠然とした感じで電書と付き合っている．そして，今のところこの方針でうまくいっている．ネットを見ると電書 or 紙といった論調ばかりで，ぼくのやっているような玉虫色の運用方針はあまり見られないが，このくらい適当な方がむしろよいのではないか．本に限った話ではないが，方針というものは雑な方がよいときもある．

2019年を振り返って

所感

カレンダー

1月

なぜか制御工学の勉強を始めた．あと大阪・京都へ旅行に行ったりした．他は何をやってたかまるで覚えてない．

2月

ひたすら数学をしていた記憶がある．AEC をテコに楕円曲線やその暗号理論への応用を勉強した．

3月

コンフェスに出て，優勝した．あとは……（何も思い出せない）

4月

進級．本を読んだり数学をしたりしていた．

5月，6月，7月

本を読んだり数学をしたりしていた．この辺本当に何もやっていない．

8月

東工大のオープンキャンパスに行ったり，神保町行ってはしゃいだり，まあそんな感じだった．受験勉強はしていない（最悪）

9月

大阪と奈良に行ってはしゃいだ．相変わらず受験勉強は……

10月，11月

虚無

12月

虚無

 

反省しかない．

 

読んだ本

今年は昨年比でかなり読書量が減った．

こうして並べてみると，一つ一つの本を読んでいた当時のことを思い出して感慨深い．

今はアルベルト・アンジェラ『古代ローマ人の愛と性』と入江昭『日本の外交』をちょっとずつ読んでいる．

上に挙げた中では，丸山眞男『超国家主義の論理と心理』，オーウェル『オーウェル評論集(2)』，岡義武『近衛文麿』『山県有朋』，会田雄次『アーロン収容所』，ワイルド『ドリアン・グレイの肖像』あたりが面白かった．どれもよく知られた名著であり，自分がくどくど書くこともないと思う．岡義武についてはかつて岩波新書に入っていたものが最近文庫化されており，入手しやすくなっている．同氏の『近代日本の政治家』も購入してあり，読むのを楽しみにしつつ積んでいる．

それから今年は 4 月から『日経サイエンス』を購読しはじめた．理系の教養を身につけ，最近の研究情勢をある程度把握しておくためである．これがなかなか面白かった．非専門家でも分かるように書いてあり，ためになる．毎月 25 日が楽しみになった．学生は 1 冊 1000 円程度で購読できる．オススメしたい．

また，研究を通じて英語論文を読む機会が昨年と比して劇的に増えたように思う．アカデミックリーディングのスキルも多少鍛えられたのではないか．最近 TOEIC IP を受けたが，1 年前と比べて解ける問題が確実に増えていた．まだまだお恥ずかしいレベルではあるが，こうして実力の向上を体感できるのは嬉しい．

「害する」と「損なう」

社会科学/人文科学

以下の質問を見て考えた．

hinative.com

当該ページには「主客の違いである(要約)」という回答がついているが，これは正しくないと思われる．「過労で健康を害した」「不用意な発言で感情を損なう」はどちらも正しい（共に明鏡国語辞典第二版）．

つづめて言えば「害する」と「損なう」の間に大した違いはない．日本語ネイティブでも両者を意識して使い分けている人間は稀ではないか*1．

それでも一応，わずかな用法の違いはあるらしい．広辞苑第六版では，「害する」は

がい・する【害する】

〘他サ変〙

(文)害す（サ変）

①きずつける．そこなう．「健康を―・する」「感情を―・する」

②殺す．殺害する．今昔物語集(9)「虎を―・せむとする時に」

③じゃまをする．さまたげる．森鴎外，大塩平八郎「北手の展望を―・する梅の木を伐(き)ること

となっている．一方の「損なう」については

そこな・う【損なう・害う】ｿｺﾅﾌ

〘他五〙

①物をいためる．傷つける．完全なものを不完全にする．土佐日記「けふいくか，はつか，みそかとかぞふれば，およびも―・はれぬべし」．仮名草子，伊曽保物語「いばらの中へおつこうで，手足をかやうに―・ふ事，何の戯れぞや」．「器物を―・う」

②危害を加える．殺傷する．神代紀(上)「性―・ひ害(やぶ)ることを好みたまふ」．源氏物語(須磨)「高潮といふ物になむ，取りあへず人―・はるるとは聞けど」

③物事を悪い状態にする．害する．源氏物語(柏木)「久しう煩ひ給ふ程よりは，殊にいたうも―・はれ給はざりけり」．源氏物語(常夏)「額のいと近やかなると，声のあはつけさとに―・はれたるなめり」．日葡辞書「イロヲソコナウ」「キゲンヲソコナウ」．「友好関係を―・う」

④(他の動詞の連用形に付いて)

　ア：…することに失敗する．間違えて…する．天草本平家物語「三井寺には長僉議をして，夜を明かいて夜討ちをし―・うて」．「文字を書き―・う」「球を受け―う」

　イ：機会を逸する．「昼食を食べ―・う」

と書かれている*2．

用法別にまとめてみると，

(感情・関係などの無形物を)傷つける，不完全にする 両方
(実体のある物を)傷つける 「損なう」のみ
(人・動物を)殺害する 両方
(人・動物を)傷つける 「損なう」のみ
じゃまをする 「害する」のみ
動詞の連用形について「…することに失敗する」などの意味を出す 「損なう」のみ

という感じか．国語辞典では不可避の相互参照が入っているのでなんとも言えないが……．

明鏡国語辞典では，「害する」の「じゃまをする」という意味について，「旱魃(かんばつ)が稲の生育を―」「権力の介入が構成な取引を―」などの例文を挙げている．こちらのほうが分かりやすいだろう．確かに「旱魃が稲の生育を損なう」とは言わない(気がする)．既に稲が育っていて，それを傷つける，という意味なら「損なう」としてもよいだろうが．

 

また，意味や用法の違いの他に，言葉の雰囲気といった面での違いもある．冒頭に挙げたサイトには類似した質問があったのだが，

hinative.com

こちらでは "損なう is a little harder to use than 害する." という回答がついている．確かにこれはそうかもしれない．そもそも「損なう」より「損ねる」の方がよく使われるような気もする．

また，言葉のトーンについて言えば，「害する」は「損なう」よりも強い印象を与えるのではないか．「気分を害する」と「気分を損なう」では前者の方がより腹を立ててそう．

 

どうも途中から漠然とした感想ばかり書いて申し訳ないが，とにかく「害する」と「損なう」の違いはそんな感じである．

 

ちなみに，「損なう」は，上の広辞苑の定義からも分かる通り語幹が「そこな」である．したがって本来は「損う」と送るのが正しいが，それでは「損ねる」→「損る」と区別が付きづらいので，例外的に一文字送り仮名を増やすことになっている(この辺りのルールは内閣告示「送り仮名の付け方」を参照するとよい)．

 

*1:ニュースピークが導入されたら真っ先に片方が無くなりそう．あるいは ungoodize で代用されて共に消えるか．

*2:例文が古典ベースなのは格調高くてかっこいいけど常用向きではないなあ．