女子小学生でもわかる剰余環の定義

はじめに

この記事きじんで,数学すうがく興味きょうみをもったおんなは,ぼくへ連絡れんらくしてください.個人こじんレッスンをしてあげます.

 

大人の方へ:

厳密性の話はしないでもらえるとありがたいです.

加算・減算・乗算の3つの演算を行える集合を,と呼びます.たとえば,整数全体は環です(整数同士の和差積は全て整数になります.一方,整数同士の商は整数になるとは限りません.たとえば,1/2 は整数ではありません).

同値関係

以下では R を環とします.
R の要素2つ (a, b) を引数として取り,TRUE/FALSE のどちらかを返す関数 f(a, b) を考えます.たとえば,R が整数集合なら,a < b のとき TRUE を返し,a ≧ b のとき FALSE を返す,といった関数などを挙げられますね.
こうした関数を,特別に2項関係と呼びます.また,2項関係は,関数の形で書く代わりに,適当な記号(たとえば ~ とか)を取り,a ~ b と書いたりします.a < b,a > b,a != b なんかは全て2項関係です.

ここで,以下の3条件を満たす2項関係 ~ を特に同値関係と呼びます.

  1. R に含まれる全ての要素 x について,x ~ x
  2. x ~ y かつ y ~ z なら,x ~ z
  3. x ~ y なら y ~ x

たとえば,整数集合での関係 = (等しい)は,明らかに同値関係です.整数 n, m, l について,n = n ですし,n = m かつ m = l なら n = l ですし,n = m なら m = n です.

また,ある整数 k を決め打ちして,「x と y は,それぞれ k で割った余りが等しい」ことを x ≡ y (mod k) と書きますが,これも同値関係です.

剰余環

さて,同値関係を導入すると,「同値な要素は全部ひとまとめにして考える」ということができますね.

たとえば,先ほどの「k で割った余り」について考えます.k = 3 とすると,整数は全て

  • 3 で割った余りが 0 になるやつ
  • 3 で割った余りが 1 になるやつ
  • 3 で割った余りが 2 になるやつ

に分類されます.すなわち,{ …, -6, -3, 0, 3, 6, … },{ …, -5, -2, 1, 4, 7, … },{ …, -4, -1, 2, 5, 8, … } の3分類ができますね.

ここで,それぞれの分類のうち,代表者を一つずつ選出します.別になんでもいいんですが,簡単さのために 0, 1, 2 を取り出しましょう.つまり,

  • 3 で割った余りが 0 になるやつの代表 → 0
  • 3 で割った余りが 1 になるやつの代表 → 1
  • 3 で割った余りが 2 になるやつの代表 → 2

みたいに考えます.

さて,こうすることで,代表者のみを集めた集合を作れます.{0, 1, 2} ですね.この集合を剰余環と呼びます.要するに国会みたいな感じですね.いまは例として 3 で割った余りのことばかり考えていましたが,同値関係として別のものを取れば,いろんな剰余環を作れます.

うれしさ

剰余環では,同値な要素を「ひとまとめ」にして,代表者だけを集めて考えることができます.
これによるうれしさは,間接民主主義を導入するうれしさと一部共通すると思います.古代ギリシャのポリスみたいに,みんなが顔見知りであるほど人数が少なければ,全員の意志を考える直接民主主義が可能ですね.しかし,現代国家のように,人数が爆発しているところでは,代表者を選出し,直接的にはそうした代表者の意志を考える間接民主主義が必要になってきます.

ましてや数学では,集合の要素が無限に存在することがたくさんあります.ここで,手に負えるサイズまで集合を「圧縮」し,しかもその集合をきちんと有意義に扱える(剰余環も環なので,演算ができます!),というのは大変うれしいことです.

特に現代では,有限な演算しかできないコンピュータにたくさんの処理をさせることが多いので,剰余環の効用はかなりありがたいです.先ほど考えた「3で割った余りについての剰余環」とかはかなり使われています.もっとも,こいつは環じゃなくて体になっちゃうんですが.環のままじゃイカン!ってことなんでしょうか.